數學對這類問題還不夠成熟。
以上是數學家保羅鄂爾多斯對我們要討論的問題的評價。在我討論過這個問題之后，你可能會覺得這么簡單的問題也可以這么復雜。我們開始吧！
猜測一個正整數x，帶入下面的分段函數進行運算。
如果是偶數，就除以2；如果是奇數，就乘以3再加1，這樣又變成偶數了，再除以2。
假設你想到的數字是21。21是奇數。所以，(321 1)=64。64是一個偶數。除以2得到32。同樣，32也是偶數，進一步得到16。又是一個偶數，然后進一步得到16/2=8。最終結果是1。
現在，1是個奇數。所以乘以3再加1得到(31 1)=4。因為4是偶數，所以我們得到421。
現在，問題“陷入”了一個421的循環。
想出另一個數字，比如7。7變成了22，然后是11。然后繼續這樣：
7221134175226134020105168421從7開始，最后進入421的循環。
這被稱為“柯拉茨猜想”。科學家檢驗了“無數”個數字，準確的說是2 ^ 68個數字，都遵循這個猜想。
這個猜想是以洛薩柯拉茨命名的。他在1937年提出了這個猜想。它還有很多名字，如3n 1問題、3n 1猜想、烏蘭猜想(以斯坦尼斯勞烏蘭命名)、焦古問題(以角谷靜夫命名)、斯韋茨猜想(以布萊恩斯韋茨爵士命名)、哈斯算法(以赫爾穆特哈斯命名)、錫拉丘茲問題等。
乍一看，這個猜想可能算是一個“結論”，但至今沒有得到證明，也沒有找到反例。我估計誰都會覺得“應該很簡單”并且有證明的沖動！我的建議是不要嘗試。這是一個深淵，你會陷在里面什么也得不到。
數學家對Collatz的研究表明，幾乎所有的Collatz數列最終都會變成一個比起始數小的數。陶哲軒's偏微分方程證明，99%的數字最終會變成非常接近1的值。也許陶哲軒，現在最偉大的數學家之一，幾乎證明了這個猜想。
你可以盡可能接近柯拉茨猜想，但還是遙不可及——陶哲軒
3x 1得到的數叫做冰雹數字，.為什么？因為如果你用圖形畫出來，它們就像雷雨云中的冰雹一樣起伏。但是每個數字的圖形都是不可預測的。
例如，26只需要10步就能達到1。達到1之前的最大數只有40。事情是這樣的：
261340 20105168 4 2 1但如果我們以數字27為例，要走111步才能達到1。并且在達到1之前的最大數是9232。這個序列是這樣的。
27 82 41 124 62 31 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 133666833416750225175437711325662 8385042512766383199584791438719215810793238161948582429728836441079 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106
53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1同樣，28、29和30只需要18步就能達到1。但是31需要106步才能達到1。數學家們能找到的唯一規律就是沒有規律。
數字50,000的科拉茨數列中每一步的圖形表示。這是一個數字（我們取了50,000）達到1的每一步的圖。如果取對數，并去除線性趨勢，得到的只是一個幾何學上的布朗運動。所有的波動都是隨機的。
根據統計，從1開始的10億的數字中有29.94%的數字以1開頭（最高位為1），有17.47%的數字以數字2開頭，有12.09%的數字以數字3開始，大概60%的數字以1，2，3數字開頭。對于更大的數字，如4、5、6......百分比就會下降。這種分布被稱為本福德定律（ Benford’s law）。本福德定律甚至被用來檢測銀行的稅務欺詐和交易欺詐。
回顧上面的那張科拉茨圖，如果每一個數字都遵循這個猜想，那么每一個數字都是無限擴展的樹的一個分支。下面我們用這棵樹做一些很酷的事情。
如果根據數列中的數字是奇數還是偶數，對路徑上的每個點進行旋轉，再加上一些漂亮的顏色，將得到一個類似珊瑚的結構。
科拉茨樹以藝術方式的視覺表現。在上圖中，我以藝術的方式表示了從1到50,000的數字，得到了一個看起來很有機的結構。
你可能會認為，既然我們已經檢驗了2^68個數字，并且所有這些數字都遵循了這個猜想，那么它肯定是真的。但這不能被當作數學中的證明。
波利亞猜想（Polya Conjecture）由匈牙利數學家喬治-波利亞在1919年提出，在1958年被C-布萊恩-哈塞爾格羅夫（ C. Brian Haselgrove）證明為假。反例的數值是1.854×10^361。
這讓我們想到，雖然大多數數學家都在努力證明這個科拉茨猜想，但也許它不能被證明。就像波利亞猜想一樣，可能有一個大得離譜的數字也不遵循科拉茨猜想。
我們可以嘗試在猜想中尋找一些更多的模式。下面的圖展示了前50,000個數字以及每個數字達到1所需的步驟。
前50,000個數字和每個數字達到1所需的步驟。它看起來像是兩股從0出發，在100-150之間的某個地方匯合的“流”。我們還可以看到一些奇怪的直線水平線。還記得28、29和30都是用18步達到1的嗎？所以這三個數字在圖中形成了一條直線。從圖中，我們可以看到有多個這樣的數字組合，它們用完全相同的步數達到1。
讓我們把前50,000個數字和函數log(x)一起繪制出來。現在，對于任何2的冪，log(x)是達到1所需的步數。更簡單地說，數字2^n在n步內達到1。
我們看到log(x)作為函數的下限的作用。
回到猜想的證明上，有兩種可能性。一種是有人證明了猜想的真假。或者是猜想是一個不可判定的問題。
英國數學家約翰康威(John Conway)在1987年對這個問題進行了概括。他假設有一臺數學機器，他命名為“弗拉特朗（Fractran）”。他還假設這臺機器是圖靈完備的，這意味著它基本上可以做現代計算機能做的任何事情，但也有可能發生停機問題(halting problem )。
停機問題是邏輯學的焦點，也是第三次數學危機的解決方案。其本質問題是: 給定一個圖靈機 T，和一個任意語言集合 S, 是否 T 會最終停機于每一個s∈S。其意義相同于可確定語言。顯然任意有限 S 是可判定性的，可列的(countable) S 也是可停機的――百科
因此，科拉茨猜想有可能也是一個停機問題的對象。在這種情況下，我們可能永遠無法證明科拉茨猜想是真還是假。
3x+1問題向我們展示了數學是多么不成熟。這個問題可以描述給一個五年級的學生，但仍然沒有人能夠證明或舉出反例。我們無法解決這樣一個簡單易懂的問題，可能是非常令人沮喪的，但這就是數學的本質。
